こんにちは。Inishie Once-in-a-Lifetime Chanceブログのいにしえ時渡です。今回は前回の3次関数に関する式の記事をグレードアップした記事です。
前回の記事では、3次関数の2次の係数をxに代入するというものでした。その結果、(a+b)(b+c)(c+a)という形に素因数分解できることが分かりました。念のため、数値例を出しておきましょう。
(x+5)(x+6)(x+23)=(x^2+11x+30)(x+23) = (x^3+11x^2+30x+23x^2+253x+690)
= x^3+34x^2+283x+690
ここで、前回言いそびれたのは、x= -5,-6,-23なので、それらの合計は(-5)+(-6)+(-23)=(-34)となり、x^2の係数となります。つまり、a=-5,b=-6,c=-23とすると、a+b+c=-34です。
ちなみに、690は(-5)(-6)(-23)であり、正しくは-690=abcで分類してみると良いです。この-34をxに代入します。
(-34)^3+34(-34)^2+283(-34)+690
= -8932
=(-11)(-28)(-29)=(-5-6)(-5-23)(-6-23)
=(a+b)(b+c)(c+a)
この式について証明してみましょう。xはa,b,cどれでもいいです。283=(ab+bc+ca)を抑えておきましょう。
(a+ｂ+c)^3-(a+b+c)(a+b+c)^2+(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc
=aab+aac+abb+2abc+acc+bbc+bcc
(a+b)(b+c)(c+a)
= aab+aac+abb+2abc+acc+bbc+bcc
（証明終わり）
次に、xに283を代入してみましょう。
(283)^3+34(283)^2+283(283)+690
=255468992
=(283+5)(283+6)(283+23)
=(283-a)(283-b)(283-c)
これについても証明してみましょう。
283=ab+bc+ca
(ab+bc+ca)^3-(a+b+c)(ab+bc+ca)^2+(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)-abc
=(ab+bc+ca-a)(ab+bc+ca-b)(ab+bc+ca-c)
(ab+bc+ca)3-(a+b+c)(ab+bc+ca)2+(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)-abc
= a3b3+3a3b2c-a3b2+3a3bc2-2a3bc+a3c3-a3c2+3a2b3c-a2b3+6a2b2c2-5a2b2c+a2b2+3a2bc3-5a2bc2+2a2bc-a2c3+a2c2+3ab3c2-2ab3c+3ab2c3-5ab2c2+2ab2c-2abc3+2abc2-abc+b3c3-b3c2-b2c3+b2c2
(ab+bc+ca-a)(ab+bc+ca-b)(ab+bc+ca-c)
=a3b3+3a3b2c-a3b2+3a3bc2-2a3bc+a3c3-a3c2+3a2b3c-a2b3+6a2b2c2-5a2b2c+a2b2+3a2bc3-5a2bc2+2a2bc-a2c3+a2c2+3ab3c2-2ab3c+3ab2c3-5ab2c2+2ab2c-2abc3+2abc2-abc+b3c3-b3c2-b2c3+b2c2
（証明終わり）
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