こんにちは。Inishie Once-in-a-Lifetime Chanceブログのいにしえ時渡です。今回からドラゴンゲームとして複数の専門用語を混ぜ合わせた物事を作っていきたいと思います。
テーマとしては、一次合同式、フェルマーの小定理、フィボナッチ数列、を混ぜ合わせた概念（がいねん：考え）を作っていく予定でしたが、思ったより難しく、とりあえず、まずは最初の2つ（一次合同式とフェルマーの小定理）について混ぜ合わせていきたいと思います。
まずは、専門用語の解説をして実際のゲームを実況していきます。
数論では、割り切るという考え方をとても重視しています。つまり、ある数でもう一つの数を割った時、余りが0になる事を割り切ると言います。
素因数分解も91は7と13で割り切れます。
少し難しいですが、「aがmを法としてbと合同である」とは、a ≡ b (mod m)を意味します。ここで、実数例を用いてみると、a = 92、 b = 8、 m = 7 とすると、92 ≡ 8 (mod 7)です。
92 – 13 x 7 = 8 – 7 x 1 = 1 mod 7です。
これは92と8はそれぞれ7で割った余りが1であることを意味します。つまり、92と8は７を法として合同（同じ）であるといえます。同じであることを表すために3本の線≡を使います。ここで、a-bはmで割り切れます。
92-8=84は7×12であり、92-8=84は7の倍数であり、7で割ったら余りが0になります。
ここで、よくある例として時計をイメージしてください。3時と15時は「24時間表示の時計」では針が違うところを指してしまいます。つまり、3と15です。
しかし、「12時間表示の時計」であれば、3時と15時は同じ3と書いてある数字を針は指していることだと思います。3時と15時は午前3時と午後3時なので、12時間ごとの時計ならば、同じ3時を指すことになります。
15時は12時間で一周であって、15時−12時は3時になります。先程のaとbの例で言えば、15時≡３時 (mod 12時)となり、15時が12時間を法として3時と合同になるということが言えます。15−3=12×1です。
もう一つ例を出しましょうか。5a + 7b = 17という式があったとします。直感の良い人なら5 x 2 + 7 x 1 = 17が一つの答えであることが分かります。
ここで、先程のmodを使うと右辺は17 mod 7とします。17 – 7 x 2 ≡ 3 mod 7となり17を7で割った余りは3です。
次に、左辺の5aは7で割り切れるかどうか分からないので、5a (mod 7)とします。次に、+7bは7の倍数であり、整数なので、7で割り切れて余りが0になります。そこで、両辺に残った値を比べると、5a (mod7) ≡ 3 (mod7)となります。
後は、aを求めます。
少し複雑ですが、両辺に3を掛けてみましょう。5a x 3 (mod 7) ≡ 3×3 (mod7)です。5a x 3 ≡ 15a ≡ 14a + a ≡ a ≡ 3 x 3 (mod 7) ≡ 9 (mod 7) ≡ 7 + 2 (mod 7) ≡ 2 (mod 7)となります。
なぜ、3を掛けたかといえば、ユークリッドの互除法がその根拠となります。
7=5×1+2 →5×1を左に移行してひっくり返す→ 2=7-5
5=2×2+1 →2×2を左に移行してひっくり返す→ 1=5-2×2
1=5-2x(7-5) 2=7-5を2×2の片方に代入
=5-2×7+2×5
=3×5-2×7
=1
ここで、c=3、d=-2が5c + 7d = 1の答えとなります。5 x 3 = 1 mod 7となり、右辺が1なので、元々の式5a + 7b = 17のように両辺を17倍してあげれば、5 x (3 x 17) + 7 x (-2 x 17) = 1 x 17となります。3 x 17 (mod7) ≡ 51 ≡ 7 x 7 + 2 ≡ 2 mod 7です。
一方、(-2) x 17 (mod 7) ≡ -34 ≡ -6 +(-7 x 4) ≡ -6(mod7)となります。ここで-6 mod 7のままでも構いませんが、-6 + 7 ≡ 1 (mod 7)とすることでプラスの値となります。よって、a = 2 mod 7、b = 1 mod 7となります。
つまり、5a + 7b ≡ 17(mod7)の両辺に（しかし、modの7には3は掛けない）3を掛けることで5 x 3a + 7 x 3b ≡ 17 x 3 (mod 7)は計算するとa ≡ 2 mod 7となり、このaを最初の5a + 7b = 17の5aに代入することで、b ≡ 1 mod 7が求まります。
ここで答えは2 + 7 ≡ 9 mod 7でも成り立つし、1 – 7 ≡ -6 (mod 7)でも成り立ちます。この点に関しては自分で計算してみましょう！！
もうひとつ大事な点として、最大公約数という考え方があります。最大公約数は、16と24であれば、16＝2x2x2x2と、24=2x2x2x3と因数分解できるので、両方に共通する2x2x2=8が最大公約数になります。
実際、16÷8=2余り0であり、24÷8=3余り0であり、8は16と24を割り切るのです。
ここで、先程の5a ≡ (17 mod 7)であれば、素数である、17と7の最大公約数が1であれば求める答えは一つとなります。つまり、a ≡ 2 mod 7となります。
しかし、5a ≡ 16 (mod 24)であれば、先ほど求めたように16と24の最大公約数は8なので、8個の答えが求まります。これに関しては自分で調べて確認してみましょう。
今回は長くなったので専門用語（一次合同式）の説明まででした。次回はフェルマーの小定理について調べて、「一次合同式」と「フェルマーの小定理」を混ぜていきたいと思います。
僕の感覚的な話で言えば、僕は経済学も得意なので、一次合同式を経済学の専門用語と混ぜたら面白くなるのではないかと考えています。
さらに、当ブログを読んでいてプッと笑えるようなユーモアも混ぜていきたいです。
そういうことで今回はここまでです。次回もヨロシク！！数学が吹っ飛んだ！！ではでは。
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